ভরবেগ ও গতিশক্তির মধ্যে সম্পর্ক -

i. $K =\frac{\overrightarrow{P}.\overrightarrow{P}}{2m}$

ii. $K =\frac{P^2}{2m}$

iii. $K =\frac{\overrightarrow{P}\times \overrightarrow{P}}{2m}$

নিচের কোনটি সঠিক?

বস্তুর গতিশক্তি (Kinetic Energy, \(K\)) এবং ভরবেগ (Momentum, \(P\)) এর মধ্যে সম্পর্কটি নিম্নরূপ নির্ণয় করা যায়:

আমরা জানি, গতিশক্তি \(K = \frac{1}{2}mv^2\) যেখানে \(m\) হলো বস্তুর ভর এবং \(v\) হলো বস্তুর বেগ।

আমরা আরও জানি, ভরবেগ \(P = mv\)।

ভরবেগের সমীকরণ থেকে আমরা \(v = \frac{P}{m}\) লিখতে পারি।

এখন, \(v\)-এর এই মান গতিশক্তির সমীকরণে প্রতিস্থাপন করে পাই:

\(K = \frac{1}{2}m \left(\frac{P}{m}\right)^2\)

\(K = \frac{1}{2}m \frac{P^2}{m^2}\)

\(K = \frac{P^2}{2m}\)

এটি হলো গতিশক্তি ও ভরবেগের মধ্যে স্কেলার রূপের সম্পর্ক। সুতরাং, ii. \(K = \frac{P^2}{2m}\) সঠিক।

এখন প্রথম অপশনটি দেখি:

i. \(K = \frac{\vec{P} \cdot \vec{P}}{2m}\)

আমরা জানি, কোনো ভেক্টরের নিজের সাথে ডট গুণন (dot product) সেই ভেক্টরের মানের বর্গের সমান, অর্থাৎ \(\vec{P} \cdot \vec{P} = |\vec{P}|^2 = P^2\)।

সুতরাং, \(K = \frac{P^2}{2m}\)। এটিও সঠিক। ভেক্টরের ডট গুণনের মাধ্যমে গতিশক্তিকে প্রকাশ করা যায়, কারণ গতিশক্তি একটি স্কেলার রাশি।

তৃতীয় অপশনটি দেখি:

iii. \(K = \frac{\vec{P} \times \vec{P}}{2m}\)

আমরা জানি, কোনো ভেক্টরের নিজের সাথে ক্রস গুণন (cross product) সর্বদা শূন্য ভেক্টর হয়, অর্থাৎ \(\vec{P} \times \vec{P} = \vec{0}\)।

সুতরাং, এই সমীকরণ অনুযায়ী \(K = \vec{0}\) হবে, যা কেবলমাত্র স্থির বস্তুর ক্ষেত্রে সত্য। তাছাড়া, গতিশক্তি একটি স্কেলার রাশি, কিন্তু ক্রস গুণনের ফলাফল একটি ভেক্টর রাশি হয়। তাই এই সম্পর্কটি ভুল।

অতএব, i এবং ii উভয় সম্পর্কই সঠিক।